Ondas estacionarias

La generación de ondas estacionarias es un caso especial de interferencia de ondas. Se producen cuando una onda cualquiera es confinada en cierta región del espacio. La interferencia se da entre la onda incidente y la reflejada. En el caso de una cuerda, se producen ondas estacionarias siempre que se tenga un extremo de la cuerda fijo.

onda estacionaria producida por dos ondas de igual amplitud
Cuando una onda, transmitiéndose en una cuerda, llega a un extremo fijo, éste se ve forzado a reflejarla. Es decir, remite una nueva onda hacia atrás, de forma que la superposición de las dos ondas, la incidente y la reflejada, produzca un desplazamiento nulo del extremo de la cuerda. Si suponemos que el extremo fijo se encuentra en x = 0 y que la onda incidente está dada por la expresión:
onda incidente

la onda reflejada vendrá dada por:
onda reflejada

El signo más que aparece en el argumento de la función seno nos dice que la onda viaja en sentido opuesto a la incidente, mientras que el signo menos delante de la amplitud nos asegura que en el extremo, en x = 0, las dos ondas poseen desplazamientos opuestos en todo t. La superposición de las dos ondas no produce ningún movimiento en x = 0. La resultante de las dos ondas es:
resultante de la onda incidente y la onda reflejada

en donde se han usado las relaciones trigonométricas para el seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos. La expresión final posee características distintas de las de las ondas de partida, debido a que las variaciones temporal y espacial han quedado separadas.

Ahora, no todos los puntos vibran con la misma amplitud, sino que ésta depende de la posición del punto. En concreto, existen puntos que no vibran en absoluto, siendo el extremo uno de ellos. Dichos puntos, denominados nodos, son aquellos que hacen que el seno de la onda resultante, valga cero. Esto se verifica para todos los valores de x de la forma n λ/2, siendo n entero. Por el contrario, la amplitud de la oscilación es máxima en el punto medio entre cada dos nodos. En la ilustración adjunta se representa la onda resultante en varios instantes de tiempo.

onda estacionaria en distintos instantes de tiempo

Puede apreciarse cómo la oscilación ya no se desplaza con el tiempo a lo largo de la cuerda. Por eso se dice que se trata de ondas estacionarias. Estas ondas no propagan energía, pues la transportada hacia la derecha por la onda incidente queda compensada por la de la onda reflejada.

Cuando los dos extremos de una cuerda están fijos, se producirá en ambos el anterior proceso de reflexión de ondas y la consiguiente generación de ondas estacionarias. En general, los nodos resultantes de la reflexión en cada uno de los extremos, no coincidirán, lo que es una contradicción. Esto nos dice que, en este caso, no son posibles todas las longitudes de onda. Entre dos extremos fijos sólo pueden existir ondas estacionarias con longitudes de onda tales que los nodos correspondientes a los dos extremos coincidan. Esto ocurre cuando la longitud total de la cuerda L es un número entero de veces la mitad de la longitud de onda (que es la distancia entre nodos); o sea, cuando λ es igual a:
Longitud de onda estacionaria

Al modo de vibración con sólo dos nodos en los extremos, o sea con n = 1, se le conoce como modo fundamental.

Las frecuencias correspondientes a las λ obtenidas en la ecuación son con las que una cuerda con sus extremos fijos puede vibrar libremente. Éstas son iguales a:
frecuencia de onda estacionaria

El modo fundamental corresponde á la frecuencia más baja.

En general, las ondas estacionarias se producen siempre que se tiene un medio de vibración acotado. Las vibraciones de la membrana de un tambor, por ejemplo, son ondas estacionarias bidimensionales. Las ondas sonoras en un tubo de órgano o en la caja de resonancia de una guitarra son también ejemplos de ondas estacionarias. Cuando incide luz perpendicularmente a una superficie, también se generan ondas estacionarias.
modos de vibracion para una cuerda con extremos fijos

Ejercicio resuelto de ondas estacionarias

Una cuerda de guitarra de 80 cm de longitud vibra en su modo fundamental. La velocidad de las ondas que en ella se propagan es de 100 m/s. ¿Con qué frecuencia vibra?

Solución:

En el modo fundamental, la longitud de onda λ viene dada por la ecuación con n = 1. Así:
ejercicio resuelto de ondas estacionarias 1

Conocidos λ y la velocidad, podemos encontrar la frecuencia de vibración a partir de las expresiones:
ejercicio resuelto de ondas estacionarias 2


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