Velocidad de propagacion

Una vez clasificadas las ondas, podemos estudiar la descripción matemática común a todas ellas y sus parámetros característicos como la velocidad de propagacion. Nos fijaremos en un caso fácil e intuitivo, como es el de la cuerda, y después extenderemos los resultados a las ondas sonoras y a las electromagnéticas.

Supongamos que tenemos una cuerda, en uno de cuyos extremos un cierto objeto (fuente) realiza un determinado movimiento transversal, tal como se muestra en la ilustración. Dado que las partículas de la cuerda están unidas entre sí, dicho movimiento se irá transmitiendo paulatinamente a lo largo de la cuerda, desplazándose de esta manera la vibración originada por la fuente. La velocidad con la que ésta se transmite de unas partículas a otras depende de lo rígidamente que estén unidas, o sea, de la tensión de la cuerda T, y de la inercia del sistema, que en este caso viene medida por la masa por unidad de longitud de la cuerda ρl (densidad lineal). Cuanto mayor sea la tensión, más rápida será la propagación; mientras que cuanto más pesada sea la cuerda, más lento será el movimiento. Un análisis matemático del problema muestra que la velocidad de propagación de ondas en una cuerda está dada por:
velocidad de propagacion de ondas en una cuerda 1

Solución general del movimiento ondulatorio

Cualquiera que sea el desplazamiento de la fuente f (t) éste se traslada con velocidad v al resto de la cuerda. Un punto situado a una distancia x de la fuente, poseerá, en un instante cualquiera t, el mismo desplazamiento que tuviera la fuente un intervalo de tiempo Δt = x/v anterior. Así, el desplazamiento del punto x en el instante t, y (x, t), será:
velocidad de propagacion de ondas en una cuerda 2

Esta expresión es completamente general, válida para cualquier tipo de onda, si bien la velocidad de propagación v depende del medio y de la clase de onda de que se trate. A la función y(x, t), que describe la onda en todo x y para todo t, se la denomina función de onda. La ecuación representa una onda moviéndose en la dirección positiva del eje X. De forma análoga, la expresión general de una onda moviéndose en la dirección negativa del eje X, es:
velocidad de propagacion de ondas en una cuerda 3
velocidad de propagacion de ondas en una cuerda 4


Ondas armónicas

Se puede demostrar que una función general cualquiera f(t) siempre puede escribirse como una suma de funciones seno, de distintas frecuencias. Por eso es importante considerar el caso particular en el que la fuente oscila con un movimiento armónico simple. Es decir:
velocidad de propagacion de ondas en una cuerda 5

en donde A es la amplitud del movimiento, ω la frecuencia angular, y hemos elegido el origen de tiempo de forma que la fase inicial φ sea igual a cero. Sustituyendo esta expresión de la oscilación de la fuente en la solución general de las ondas, se obtiene que el desplazamiento de la cuerda para todo x y para todo t es igual a:
velocidad de propagacion de ondas en una cuerda 6

A las ondas como la que representa esta ecuación, generadas por una fuente con movimiento armónico simple, las denominamos ondas armónicas. En vez de la función seno podríamos haber utilizado, igualmente, la función coseno; la única diferencia es un desfase de π/2 entre ambas. Las ondas armónicas son doblemente periódicas, tanto en relación con el tiempo como con el espacio. A continuación estudiaremos los períodos temporal y espacial de las mismas.

Período y frecuencia

Consideremos un x cualquiera fijo en la ecuación. Observamos que el punto correspondiente de la cuerda realiza un movimiento oscilatorio armónico con la misma frecuencia angular ω y la misma amplitud A, pero diferente fase, que la fuente de la onda. Decimos que A es la amplitud y ω la frecuencia angular de la onda en dicho punto. Al igual que vimos en el capítulo anterior para el movimiento oscilatorio, la frecuencia de la onda es v = ω/2π y el período viene dado por:
periodo y frecuencia

Longitud de onda

En la ilustración se representa la función de onda dada para un valor fijo de t, lo que es equivalente a tomar una fotografía instantánea de la cuerda. La ilustración es similar a la que describía el comportamiento temporal del movimiento armónico simple, pero es necesario notar que lo que aquí se representa es la dependencia espacial de la onda y no la temporal.
longitud de onda

La distancia λ entre dos picos (o dos valles) consecutivos se denomina longitud de onda, y nos da la periodicidad espacial de la onda, de la misma manera que el período nos da la temporal.

Podemos encontrar el valor de λ en función de la frecuencia. Cuando la posición x aumenta una distancia λ, el argumento de la función seno, ha de incrementarse en una cantidad 2π, para que dicha función vuelva a adquirir el mismo valor que antes (manteniéndose t constante). Esto es:
longitud de onda 2

Podemos reescribir esta relación en función del período en vez de la frecuencia, teniendo en cuenta la ecuación:
longitud de onda 3

Así, λ y T están relacionados mediante la velocidad de propagación de la onda en el medio de transmisión. En un medio dado, la frecuencia de la onda determina la longitud de onda correspondiente. La función de onda suele escribirse en términos de la longitud de onda:
longitud de onda 4

Otras expresiones de esta misma función son:
longitud de onda 5

El número de onda k se define como k = 2π/λ. Desempeña, respecto a la variación espacial de una onda, el mismo papel que la frecuencia con respecto a la variación temporal. En la descripción de la onda podemos utilizar, por un lado, bien ω o bien T, y, por el otro, bien k o bien λ.

Si una onda atraviesa distintos medios, con diferentes velocidades de propagación, la frecuencia permanece siempre constante, mientras que la longitud de onda varía de un medio a otro, de manera que la relación continúe verificándose en todos ellos. Es razonable que esto sea así, ya que la transmisión de la onda de un medio a otro se efectúa en su frontera y la característica que el segundo medio nota del primero es la variación temporal y no la espacial.

Ejercicio resuelto de velocidad de propagacion de ondas

La velocidad de las ondas en una cuerda de 60 g/m es de 8 m/s. Tenemos una onda en ella con una amplitud de 2 cm y un período de 0,04 s. Halla: a) la frecuencia de la onda; b) la longitud de onda; c) la función de onda; d) la velocidad del punto x1 = 0,7 m; y e) la tensión de la cuerda.
Solución:
a) La frecuencia de la onda es la inversa de su período:
ejercicio velocidad de propagacion 1

b) La longitud de onda es igual a la velocidad de propagación por el período:
ejercicio velocidad de propagacion 2

c) La función de onda está dada por:

d) Para obtener la velocidad de un punto hemos de derivar la función de onda respecto al tiempo:
ejercicio velocidad de propagacion 4

e) La tensión de la cuerda se obtiene despejando en la expresión de la velocidad de propagación
ejercicio velocidad de propagacion 5



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