Leyes de la reflexion y de la refraccion

Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios, parte de ella se refleja y parte se refracta (es decir, pasa al otro medio), tal como se muestra en la ilustración.
rayo incidente reflejado y refractado

Estudiaremos las leyes de la reflexión y de la refracción para el caso de una onda plana incidiendo sobre una superficie también plana, que es el caso más importante. Llamemos θi al ángulo que forma la dirección de la onda incidente con la normal a la superficie de separación, θr al que forma la onda reflejada con dicha normal, y θt al que forma la onda refractada con la mencionada normal. Deseamos encontrar θr y θt en función de θi.

Antes de nada, podemos ver que, por razones de simetría, el plano formado por el rayo incidente y el reflejado deberá ser perpendicular a la superficie de separación. No hay motivo para que la superficie separadora desvíe al rayo incidente de manera lateral. Las mismas razones de simetría nos dicen que el plano formado por el rayo incidente y el refractado será perpendicular a la superficie. Por tanto, ha de ser el mismo plano que el determinado por los rayos incidente y reflejado. A dicho plano se le denomina plano de incidencia.
frente de ondas en la reflexion

Estudiemos primero la reflexión. Consideremos los dos frentes de ondas de la ilustración, AB y CD, así como los tres rayos representados. El tiempo empleado por éstos entre el frente AB y el CD ha de ser el mismo, de acuerdo con el teorema de Malus. Dado que la velocidad de ambos rayos es la misma, pues se propagan en el mismo medio, la distancia recorrida habrá de ser idéntica. Esto ocurre cuando el ángulo incidente y el reflejado son iguales, resultado que denominamos ley de la reflexión.

El ángulo de incidencia y el de reflexión son iguales.

Pasemos ahora a la refracción. Para calcular θt, fijémonos en los dos frentes de onda y en los dos rayos que los unen, de la ilustración adjunta. Los tiempos empleados por éstos,t1 y t2, han de ser iguales, pero como ahora las velocidades son distintas, pues se trata de medios diferentes, las distancias habrán de ser diferentes. Tendremos
reflexion y refraccion formulas 1

Los tramos BD y AC están relacionados con los ángulos θi y θt a través de:
reflexion y refraccion formulas 2

De donde deducimos:
reflexion y refraccion formulas 3

La refracción es especialmente importante en las ondas electromagnéticas, cuya velocidad viene dada en términos del índice de refracción, V1 = c/n1 y V2 = c/n2. Teniendo esto en cuenta, llegamos a:
reflexion y refraccion formulas 4

relación que se conoce como ley de Snell.
frente de ondas en la refraccion

En resumen, las leyes de la reflexión y de la refracción nos dicen lo siguiente:
Los rayos incidente, reflejado y transmitido o refractado están todos en un mismo plano, perpendicular a la superficie de separación.
Los ángulos incidente y reflejado son iguales.
reflexion y refraccion formulas 5

Los ángulos incidente y transmitido están relacionados por la ley de Snell:
reflexion y refraccion formulas 6

El cambio de dirección predicho por la ley de la refracción es el modo que tiene la superficie separadora de dos medios de ajustar el cambio de velocidad de la luz y, por tanto, de longitud de onda de un medio a otro.
indice de refraccion de distintos materiales

Como dijimos, el índice de refracción de un medio depende, en general, de la frecuencia. Ello hace que los θt correspondientes a frecuencias distintas sean diferentes, lo que produce la separación espectral de la luz en un prisma.

Si n2 < n1, la ecuación no tiene solución para ángulos de incidencia mayores que un ángulo crítico, también llamado ángulo límite, θc dado por:
reflexion y refraccion formulas 7

Para dichos ángulos no existe onda refractada, sino únicamente reflejada. Por eso, a este fenómeno se le denomina reflexión total. Las fibras ópticas, de importancia fundamental en las telecomunicaciones y en la exploración médica, están formadas por conductos muy finos de plástico, embebidos en otro plástico con un índice de refracción menor. En las fibras ópticas, la luz viaja a lo largo de ellas, sin salirse de su conducto correspondiente, gracias a la reflexión total.

Insistimos en que la frecuencia de los tres rayos anteriores es siempre la misma. Ello ha de ser así para que la dependencia temporal de todas las ondas en la superficie de separación sea la misma y el acoplamiento sea el adecuado.

En los problemas de lentes, las dimensiones de los objetos y dispositivos son, en general, mucho mayores que la longitud de onda de la luz involucrada, por lo que puede ignorarse el carácter ondulatorio de ésta. A la aproximación basada en ello se la conoce con el nombre de óptica geométrica. Sus resultados se pueden obtener a partir del principio de Fermat, que dice lo siguiente:

Los rayos ópticos siguen recorridos tales que el tiempo invertido por la luz entre dos puntos cualesquiera es siempre mínimo.

Un rayo óptico es el camino que sigue un haz de luz infinitamente estrecho. Este concepto representa, dentro de otro formalismo, la misma entidad que definimos al hablar de frentes de ondas. Las leyes de la reflexión y de la refracción pueden deducirse a partir del principio de Fermat.

Ejercicio resuelto de refraccion y reflexion

¿Cuál es el ángulo crítico para reflexión total entre el agua y el aire?

Solución:
El ángulo crítico viene dado por la expresión:
reflexion y refraccion formulas 8

En la ilustración representamos las trayectorias de los rayos que inciden en el ojo de un pez. Para ver la superficie, él no necesita barrer un ángulo de 180°, sino únicamente de 2 • 50,3°.


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