Movimiento armonico simple

El conocimiento de la fuerza nos permite obtener, mediante la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial que ha de satisfacer la trayectoria de la partícula para explicar el movimiento armonico simple. Para ello basta igualar la expresión de la fuerza, al producto de la masa por la aceleración:
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Se puede comprobar por sustitución directa que una solución de esta ecuación es:
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en donde A, ω y φ son constantes. Para ello calculamos primero la velocidad, o derivada de x(t) con respecto al tiempo:
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Después obtenemos la aceleración derivando de nuevo:
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Sustituyendo las expresiones, obtenemos:
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Comprobamos fácilmente que la solución propuesta es, en verdad, una solución, con tal que se verifique:
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El movimiento descrito por la expresión se denomina movimiento armonico simple. El movimiento armonico simple se caracteriza por tener una aceleración variable, proporcional al desplazamiento y con sentido opuesto a éste.

Al sistema que realiza un movimiento armónico simple le denominamos oscilador armónico.

El movimiento armónico simple es un caso especial de movimiento oscilatorio. Cuando la fuerza recuperadora no es proporcional al desplazamiento, el movimiento sigue siendo oscilatorio, pero no armónico simple.

En la expresión anterior, que describe el movimiento armónico simple, aparecen tres constantes: A, ω y φ

A continuación analizaremos el significado de cada una de ellas. 
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Frecuencia

ω se la denomina frecuencia angular de la oscilación, si bien a veces se comete un abuso de lenguaje y se la llama frecuencia, simplemente. La ecuación nos dice que la frecuencia angular no puede ser cualquiera, sino que está determinada por la constante de fuerza y la masa. A la frecuencia se la conoce como frecuencia angular propia del sistema, pues es aquella con la que el sistema oscila cuando se le deja vibrar libremente.

Como ya se ha dicho, a veces se usa en vez de ω la frecuencia: v = ω/2πω se mide en radianes/segundo (rad/s), mientras que v se mide en ciclos/segundo o hercios (Hz).

Período

Decimos que un movimiento es periódico cuando se repite regularmente en el tiempo, es decir, cuando retorna a su situación en un instante cualquiera t después de un cierto intervalo temporal T, que denominamos período. Éste se define, en el caso general, como la constante más pequeña que verifica la relación:
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siendo n entero.

Observamos en la representación del movimiento armónico simple que se trata de un movimiento periódico.
Para calcular el período de nuestro movimiento armónico simple basta con sustituir el valor de x(t), dado por la ecuación anterior, en  la definición anterior, de donde concluimos que ha de verificar:
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Esta relación es válida para todo t siempre que ωT = 2π, ya que el valor de la función seno no cambia cuando su argumento aumenta en 2π. El período es, por tanto, inversamente proporcional a la frecuencia.
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Amplitud

Las constantes A y φ de la expresión vienen determinadas por las condiciones iniciales del problema, es decir, por el valor de la posición y de la velocidad de la partícula en el instante inicial. La ecuación del movimiento no nos dice nada sobre su valor, al contrario de lo que ocurre con la frecuencia, que viene determinada por las características del sistema.

A es la amplitud del movimiento y, como su nombre indica, corresponde al desplazamiento máximo de la partícula en su movimiento vibratorio. En la ilustración se indica su valor. La amplitud se mide en las mismas unidades que la variable x; por lo general, x es una longitud y la amplitud se mide en metros.

Fase

φ es la fase inicial del movimiento, y nos indica en qué momento de la oscilación empieza a medirse el tiempo. Se trata de un ángulo, por lo que no posee dimensiones y se mide en radianes o en grados. El argumento de la función seno, ωt + φ se conoce como fase del movimiento y determina en qué momento de la oscilación se encuentra la partícula. 

Determinemos cuánto valen A y φ en términos de las condiciones iniciales. La posición inicial x0 es igual a:
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La velocidad inicial viene dada, por:
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Dividiendo estas dos ecuaciones, obtenemos el valor de la fase inicial:
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La amplitud la podemos obtener multiplicando la primera ecuación por ω, elevando ambas ecuaciones al cuadrado y sumándolas. Entonces resulta:
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En vez de haber usado la función seno para describir el movimiento oscilatorio, podríamos haber utilizado equivalentemente la función coseno. La única diferencia residiría en el valor de la fase, pues el seno y el coseno representan la misma función, pero con un desfase de π/2.

También se podría haber utilizado una expresión de la forma:
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que es equivalente al anterior ecuación, como se demuestra desarrollando el valor del seno de la suma de dos ángulos. En este caso, la amplitud es igual a A = √a2 + b2 y la fase inicial viene dada por φ =arctan(b/a).


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