Pendulo y muelle

El movimiento oscilatorio o vibratorio consiste en el desplazamiento de vaivén que experimenta una partícula alrededor de su posición de equilibrio cuando se la perturba ligeramente ( pendulo y muelle ). Se trata de un movimiento muy general que se presenta en una gran variedad de situaciones, debido a la tendencia de la naturaleza hacia el equilibrio. Muchos objetos están en equilibrio y, al ser perturbados, oscilan.

Para que una partícula permanezca en equilibrio estable ha de hallarse en un mínimo de energía potencial, tal como se muestra en la ilustración. Si cogemos una partícula en equilibrio y la desplazamos, gana energía potencial. Cuando la soltamos, la partícula tiende a volver al punto de equilibrio, perdiendo energía potencial y ganando energía cinética. Al pasar por el punto de equilibrio, no se detiene debido a la velocidad que lleva. Tras pasar por dicho punto, empieza a perder velocidad y, por tanto, energía cinética y a ganar, al mismo tiempo, energía potencial. Cuando la velocidad llega a ser nula, se invierte el movimiento y la partícula comienza de nuevo a ganar velocidad, y así sucesivamente. La partícula oscila entre los dos puntos en los que su energía potencial es igual a la energía total, que depende de la perturbación que origina la oscilación.

La descripción matemática de este movimiento se puede realizar a partir de la fuerza recuperadora, que trata de hacer volver a la partícula a su posición de equilibrio. Siempre que la perturbación no sea demasiado grande, la fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio x:
Pendulo y muelle 1
El signo negativo nos indica que la fuerza es contraria al mencionado desplazamiento, k es una constante que depende del sistema del que se trate y que se denomina constante de fuerza. Hemos supuesto que el movimiento que nos interesa se produce sólo en una dimensión.

En el post sobre la energía vimos que la energía potencial correspondiente a una fuerza es igual a:
Pendulo y muelle 2
Suficientemente cerca de un mínimo de energía, la energía potencial siempre es, aproximadamente, igual a una expresión de esta forma, como se aprecia en la ilustración. La fuerza recuperadora es lineal en el rango en el que la energía potencial puede aproximarse por una parábola.

Pendulo y muelle 3

Muelle

La ley de Hooke para el muelle es un ejemplo típico de la ecuación anterior. Esta ley nos dice la fuerza con la que un muelle trata de recuperar su posición de equilibrio cuando se le encoge o se le estira.

La constante del muelle k puede determinarse midiendo su elongación para diversos pesos. Esas medidas deben corresponder a una línea recta, en un diagrama de F frente a x, cuya pendiente es igual a k.

Péndulo

Cuando un péndulo oscila con ángulos pequeños, respecto a la vertical, la fuerza recuperadora, debida a la gravedad, puede aproximarse por una expresión de la forma anterior. Supongamos que el péndulo forma un ángulo α con respecto a la vertical, tal como se muestra en la ilustración.

Pendulo y muelle 4

La fuerza de la gravedad es en la dirección vertical hacia abajo. Podemos descomponerla en una componente en la dirección del péndulo y otra en la dirección perpendicular. La primera componente es compensada por la tensión de la cuerda o varilla que forma el péndulo. La segunda componente es tangencial a la trayectoria y es la responsable de que la partícula se acelere. Dicha componente vale:
Pendulo y muelle 5
siendo m la masa de la partícula que constituye el péndulo. Para ángulos pequeños, el valor del seno de un ángulo (en radianes) es aproximadamente igual al valor del ángulo. Así, en la expresión anterior podemos sustituir sin α por α. Una forma conveniente de describir la posición del péndulo es por medio del arco de cuerda s que separa a la masa de su posición de equilibrio. El arco es igual al radio por el ángulo.
Pendulo y muelle 6
En nuestro caso, el radio es la longitud del péndulo L. Teniendo en cuenta las expresiones anteriores y la aproximación mencionada, se llega a:
Pendulo y muelle 7
Por tanto, el péndulo verifica una ecuación del tipo siguiente con la constante k dada por k = mg/L.
Pendulo y muelle 8


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