Teorema de Steiner


Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a ejes paralelos están relacionados de una forma muy simple, mediante el teorema de Steiner. Éste nos dice que el momento de inercia I con relación a un eje cualquiera es igual al momento ICM respecto al eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas más la masa total del sólido multiplicada por la distancia entre ambos ejes al cuadrado.

Para demostrar este teorema, elijamos unos ejes como los de la ilustración. Es decir, consideremos un sistema de referencia XcYcZc que tenga por origen el centro de masas, que uno de sus ejes, Yc, sea paralelo al eje Y cuyo momento de inercia queremos calcular y que otro de sus ejes, Xc, esté dirigido hacia el eje Y, cortándolo a una distancia d del origen.
Teorema de Steiner
La distancia al cuadrado de un punto, de coordenadas (x, y, z), al eje Yc viene dada por:
mientras que la distancia al cuadrado al eje Yes:
Por tanto, el momento de inercia con respecto al eje Y será igual a:
momento de inercia con respecto al eje Y
en donde hemos usado la definición de ICM, y mT es la masa total.

Según la definición de centro de masas Σi miyi = mTyc, en donde yc es la coordenada y del centro de masas. Como hemos elegido éste en el origen de coordenadas, se tiene yc = 0, de modo que el segundo término de la derecha de la anterior ecuación es idénticamente nulo. Así:
teorema de Steiner
lo que se conoce como teorema de Steiner.

Recordemos que este teorema relaciona los momentos de inercia de un sólido respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pasa por el centro de masas. Si queremos relacionar los momentos de inercia con dos ejes paralelos cualesquiera, habrá que hacerlo por medio de un tercer eje paralelo a ambos y que pase por el centro de masas.



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