Principio de Superposicion


La ley de Newton es válida para dos cuerpos puntuales. Es necesario completar la teoría con una ley que nos diga cuál es la fuerza gravitatoria cuando haya más de dos cuerpos o cuando éstos estén formados por muchas partículas, como ocurre en la gran mayoría de las situaciones. Dicha ley es el denominado principio de superposición, implícito en la teoría de Newton. Éste nos dice lo siguiente:

Si tenemos un conjunto de partículas, la fuerza gravitatoria que sufre cada una de ellas es igual a la suma (vectorial) de las fuerzas gravitatorias producidas por cada una de las otras partículas del sistema.

Así, la fuerza gravitatoria que ejerce un conjunto de N partículas puntuales en las posiciones ri y con masas mi sobre otra partícula de masa m situada en el punto r0 es igual a:
fuerza gravitatoria que ejerce un conjunto de N partículas puntuales en las posiciones ri
en donde hemos utilizado el principio de superposición y la ley de la gravitación de Newton.
principio de superposición y la ley de la gravitación de Newton

Con muchísima frecuencia deseamos calcular la fuerza gravitatoria producida por un objeto macroscópico, formado por una enorme cantidad de partículas. Una evaluación directa de la anterior ecuación es imposible. No obstante, es una aproximación excelente considerar el cuerpo como un continuo. En este caso, su densidad, que en general depende de la posición, nos proporciona toda la información necesaria. La suma de la ecuación anterior se transforma en una integral, en la que la masa se sustituye por la densidad ρ y se multiplica por el elemento de volumen dV, siendo el resultado:
La integral se extiende sobre todo el volumen ocupado por el objeto.

Si el objeto considerado es casi unidimensional, es conveniente definir una densidad lineal. En este caso, la integral de volumen anterior ha de ser sustituida por una integral unidimensional a lo largo del objeto. Equivalentemente, si el objeto es muy delgado, puede ser conveniente definir una densidad superficial. En dicho caso habrá que realizar una integral de superficie en la ecuación.
Para calcular la fuerza gravitatoria entre dos objetos formados, cada uno de ellos, por muchas partículas, habrá que realizar una doble suma, cada una de ellas similar a la de la ecuación, sobre las partículas que componen los dos objetos. Cuando los objetos se pueden describir mediante una densidad, dichas sumas se transforman en integrales similares a la de la ecuación última.

Así, la fuerza de atracción entre, por ejemplo, la Tierra y el Sol habría de calcularse mediante una integral de volumen sobre el espacio ocupado por la Tierra y otra sobre el ocupado por el Sol. Sin embargo, veremos más adelante en otro post que la fuerza resultante es igual a la que habría si toda la masa de la Tierra estuviera acumulada en su centro y toda la del Sol en el suyo.


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