Distribucion esferica de masa


Dado que la gran mayoría de los cuerpos celestes son aproximadamente esféricos, es interesante conocer cuál es el campo gravitatorio producido por objetos esféricos.
Podemos emplear la ley de Gauss para obtener mucho más fácilmente el campo gravitatorio de un objeto esférico. Dada la simetría esférica del problema, el campo habrá de ser central. Es decir, irá dirigido en la dirección radial, con respecto al centro de la esfera, y su módulo sólo dependerá de la distancia a dicho centro. Apliquemos la ley de Gauss a una superficie esférica concéntrica con el objeto y de radio arbitrario r, supuesto mayor que el del objeto. La masa total encerrada por dicha superficie es la masa del objeto m. El flujo del campo gravitatorio a través de la superficie es igual a 4πr2 por el módulo del campo g a una distancia r del centro (se ha tenido en cuenta que el campo es perpendicular a la superficie y su módulo es constante en toda ella). Así, la ley de Gauss nos dice:
Despejando, se tiene g = Gm/r2, Vemos que el campo gravitatorio debido a un objeto esférico (en un punto exterior) es exactamente el mismo que el que produciría una partícula puntual situada en su centro y con masa igual a la total del objeto.

Este resultado nos dice que los planetas y el Sol se atraen con una fuerza gravitatoria exactamente igual a la que habría si fueran puntuales. No existe una corrección debida a su tamaño finito.

Fuerza cerca de la superficie terrestre

La fuerza gravitatoria en las cercanías de la superficie terrestre es igual a la que produciría una partícula cuya masa fuera igual a la de la Tierra y que estuviera situada en su centro. Los cambios de altura de los movimientos cotidianos de objetos en las cercanías de la superficie terrestre son absolutamente despreciables en relación con el radio de la Tierra. Por ello, podemos suponer que el peso o fuerza atractiva de la Tierra sobre un objeto dado de masa m es constante en nuestro entorno, y de módulo igual a:
Fuerza cerca de la superficie terrestre
siendo mT y RT la masa y el radio de la Tierra, respectivamente. La dirección de la fuerza es hacia el centro de la Tierra, o sea, vertical.

A la constante G mT/R2se la denomina aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y se la designa con la letra g.

El peso P de un cuerpo de masa m es igual a:
El peso P de un cuerpo de masa m es igual a:
Se encuentra que g vale 9,8 m/s2.

La determinación experimental, por Cavendish, de la constante universal G permitió conocer la masa total de la Tierra:
constante universal G permitió conocer la masa total de la Tierra:

6,37 • 106 m es el radio de la Tierra.


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