Energia y potencial gravitatorios. Velocidad de Escape


La fuerza y el campo gravitatorios de una partícula son campos vectoriales centrales y, por tanto, conservativos. El principio de superposición nos asegura que para un número cualquiera de partículas, los campos vectoriales anteriores siguen siendo conservativos. En consecuencia, ambos campos poseen un potencial. El potencial de la fuerza gravitatoria es, por definición, su energía potencial gravitatoria Ep y está definido a través de la ecuación:
potencial de la fuerza gravitatoria
Estudiemos primero la energía potencial gravitatoria de una partícula, que situaremos en el origen. La fuerza correspondiente es central. Como vimos en el capítulo sobre la energía, la integral de línea anterior la podemos hacer a lo largo de una trayectoria formada por tramos radiales y circulares, y el resultado es igual a una integral normal del módulo de la fuerza:
El signo menos se debe a que la fuerza es atractiva. Sustituyendo la expresión de la fuerza gravitatoria en esta integral, obtenemos:
De acuerdo con la ecuación, esta cantidad ha de ser igual a la diferencia de energía potencial. De aquí deducimos que la energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m' a una distancia r de otra de masa m es igual a:
energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m' a una distancia r
Esto supone elegir la energía potencial en el infinito igual a cero.

La expresión nos da la energía potencial de una partícula debida a la fuerza gravitatoria ejercida por otra partícula.

Cuando hay más de dos partículas, la energía potencial de una de ellas es igual a !a suma de las energías potenciales debidas a cada una de las otras partículas.

Lo mismo que hemos hecho en relación con la fuerza gravitatoria lo podemos hacer con el campo gravitatorio. La integral de línea del campo gravitatorio es igual a la diferencia del potencial gravitatorio entre los puntos inicial y final.
No es necesario calcular esta integral. Podemos deducir el resultado por analogía con el caso anterior. La única diferencia entre el potencial y la energía potencial gravitatorios será un factor m', pues es la relación existente entre el campo y la fuerza gravitatorios. Así:
relación existente entre el campo y la fuerza gravitatorios
La energía potencial gravitatoria de una partícula es igual a su masa por el potencial gravitatorio en el punto donde esté.

Sustituyendo el valor de la energía potencial gravitatoria en la anterior ecuación, tenemos que el potencial gravitatorio de una partícula de masa m a una distancia r es igual a:
potencial gravitatorio de una partícula de masa m a una distancia r
Como la fuerza gravitatoria de una distribución esférica de masa en un punto exterior a ella es igual a la de una partícula situada en su centro, las expresiones anteriores son también válidas en el exterior de un cuerpo esférico.

Velocidad de escape


Se define la velocidad de escape como la velocidad mínima que ha de poseer un objeto para poder escapar de un campo gravitatorio. Dicha velocidad corresponderá a aquella cuya energía cinética iguale, en valor absoluto, a la energía potencial gravitatoria.


En el campo producido por un objeto de masa m a una distancia R, la velocidad de escape satisface la ecuación:
de donde obtenemos:
Velocidad de escape


0 comentarios:

Publicar un comentario