Campos conservativos. Concepto de Potencial


En el post sobre energía decíamos que una fuerza era conservativa si el trabajo que realizaba entre dos puntos era independiente de la trayectoria seguida. Se demostró que esto era equivalente a que el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada fuese cero. Podemos extender a otros campos la condición de carácter conservativo.

En primer lugar, definimos el concepto de circulación, que es la extensión del concepto de trabajo a un campo vectorial:

La circulación de un campo vectorial M a lo largo de una línea L es la integral de linea de la componente del campo tangencial a la misma.
circulación de un campo vectorial M

Todo lo que dijimos sobre el trabajo y fuerza es aplicable a circulación y campo vectorial. En concreto, definimos campo conservativo de la forma siguiente:
circulación de un campo vectorial M

Decimos que un campo vectorial M es conservativo siempre que su circulación a lo largo de toda línea cerrada es igual a cero.
campo vectorial M es conservativo

Esta definición es equivalente a decir que un campo es conservativo siempre que su circulación entre dos puntos cualesquiera es independiente de la línea a lo largo de la cual se calcula. La demostración de esta equivalencia es análoga a la de las fuerzas conservativas.

De lo anterior deducimos que la circulación de un campo conservativo entre dos puntos se puede escribir como la diferencia entre los puntos inicial y final de una magnitud escalar cuyo valor únicamente depende del punto considerado. Dicha función, que es un campo escalar, se dice que es el potencial V asociado al campo conservativo M. Está definido por:
potencial V asociado al campo conservativo M

En otro post probamos que el gradiente de la energía potencial es igual a la fuerza cambiada de signo. Igualmente, el gradiente del potencial de un campo vectorial es el campo en sí cambiado de signo.

Todo campo conservativo puede escribirse como el gradiente de un campo escalar. Lo opuesto también es cierto. Todo campo vectorial que se pueda escribir como el gradiente de un campo escalar es conservativo.

Las siguientes afirmaciones acerca de los campos conservativos son todas ellas equivalentes entre sí. Todo campo vectorial conservativo M verifica:
Su circulación a lo largo de toda línea cerrada es nula.
Su circulación entre dos puntos es independiente del camino seguido entre ambos.
Puede escribirse como el gradiente de un campo escalar.

Todo campo vectorial uniforme es conservativo. La demostración es similar a la que hicimos para una fuerza constante. Igualmente, todo campo central es conservativo. Además, su circulación entre dos puntos es igual a la integral normal de la magnitud del campo desde el radio inicial hasta el final de la trayectoria.


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