Movimiento del Centro de Masas


Deseamos conocer cómo se mueve el CM de un sistema a partir de las leyes del movimiento de las partículas constituyentes. Cuando las partículas se mueven, los ri cambian con el tiempo y, por lo tanto, también varía el CM. La velocidad del centro de masas vCM es igual a la derivada con respecto al tiempo de su vector posición:
movimiento del centro de masas

en donde hemos supuesto que las masas no dependen del tiempo.

Se dice que la velocidad anterior es la velocidad del sistema, pues es el valor medio de las velocidades con que se mueven sus componentes, promediadas proporcionalmente a sus masas respectivas. Si tenemos, por ejemplo, una pelota, vCM es la velocidad con la que se mueve su centro. Puede llegar a ser muy distinta de las velocidades de las partículas que componen la pelota cuando ésta gira sobre sí misma, pero, en cualquier caso, es la velocidad con la que la pelota, como un todo, se desplaza.

La velocidad del CM cambiará en general con el tiempo, en cuyo caso poseerá una aceleración aCM. Podemos calcular ésta derivando vCM con respecto al tiempo.
movimiento del centro de masas

en donde hemos usado la segunda ley de Newton aplicada a cada partícula. Fi es la fuerza total que actúa sobre la partícula i.

Fi es igual a la suma de la fuerza externa sobre la partícula /, Fiext más las internas producidas por las otras partículas del sistema Fij. El subíndice j se refiere a la partícula que ejerce la fuerza y recorre a todas las partículas del sistema excepto a la que sufre la fuerza. Así:

El principio de acción y reacción nos dice que la fuerza ejercida por la partícula i sobre la j es igual en módulo, pero de sentido contrario a la ejercida por la partícula j sobre la i:

Esto hace que, cuando sumemos todas las fuerzas Fi, las fuerzas internas se anulen dos a dos y sólo queden las externas:

Por lo tanto, la aceleración del CM es igual a:

Hemos definido Fext como la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema, y diremos que Fext es la fuerza externa total aplicada al sistema. La relación anterior es de gran importancia. Nos dice que el CM de un sistema verifica una ecuación similar a la segunda ley de Newton para una partícula, pero en donde la fuerza es la fuerza externa total y la masa es la masa total del sistema. 
Es decir:

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve igual que lo haría una partícula cuya masa fuera igual a la masa total del sistema y sobre la que actuara una fuerza igual a la fuerza externa total aplicada al sistema.

Este resultado justifica aposteriori el que aplicáramos las leyes de Newton a objetos que claramente no eran puntuales como, por ejemplo, una pelota. Siempre que nos interese únicamente el movimiento global de la pelota, es decir, el movimiento de su CM, no sus giros o deformaciones, podemos considerar estrictamente a la pelota como un punto.

El hecho de que las fuerzas internas de un sistema no intervengan en el movimiento de su CM es de vital importancia, no sólo porque facilita la resolución de muchos problemas, sino también porque hubiera sido muy difícil encontrar las leyes de la mecánica en caso contrario. Por ejemplo, el movimiento de la Tierra alrededor del Sol hubiera dependido, además de las masas de ambos y de su distancia, de la multitud de fuerzas internas que se ejercen en la Tierra (o en el Sol), tales como las interacciones nucleares, los enlaces químicos o los procesos biológicos. Las fuerzas internas sí que influyen, no obstante, en el movimiento relativo entre partículas, e igualmente en el movimiento de éstas con respecto al CM.
El movimiento del centro de la Tierra sólo depende de la fuerza total ejercida por el Sol
El movimiento del centro de la Tierra sólo depende de la fuerza total ejercida por el Sol

Dos objetos unidos entre sí por medio de cualquier mecanismo, bien una cuerda o bien una atracción como la gravitatoria, pueden girar el uno sobre el otro, pero siempre lo harán de forma que el CM siga la trayectoria que efectuaría una partícula cuya masa fuera la suma de las de los dos objetos. Es decir, que si están cerca de la superficie terrestre, se tratará de una trayectoria parabólica, mientras que, si están lejos de otros objetos, se tratará de una línea recta.


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