Momento lineal de un sistema


El concepto de momento lineal, o cantidad de movimiento, de una partícula se generaliza de manera directa para un sistema.

Definimos el momento lineal de un sistema de partículas como la suma (vectorial) de los momentos lineales de cada una de las partículas que constituyen el sistema:
Momento lineal de un sistema
Veremos a continuación cómo este concepto representa en los sistemas de partículas un papel similar al que representa el concepto de momento lineal para una partícula. Para ello vamos a buscar su relación con las fuerzas que actúan sobre el sistema, y su ley de conservación.

Al estudiar en el post anterior la velocidad del CM, vimos que dependía de la suma de los momentos de las partículas. Así, podemos reescribir aquella expresión, en función del momento total del sistema:
Momento lineal de un sistema
El momento lineal total de un sistema es igual al que tendría una partícula cuya masa fuera igual a la total del sistema y que se moviera con la velocidad del CM.
El centro de masas del saltador sigue una trayectoria parabólica, independientemente de lo complicadas que sean las piruetas que realice.
El centro de masas del saltador sigue una trayectoria parabólica, independientemente de lo complicadas que sean las piruetas que realice.

Para relacionar p con las fuerzas aplicadas al sistema recordemos que para una partícula se verifica F = dp/dt. Por analogía, derivemos p con respecto al tiempo para ver si obtenemos un resultado similar.

La derivada temporal del momento lineal de un sistema es igual a la fuerza externa total que actúa sobre él.

Conservación del momento lineal

De la ecuación anterior se deduce la importante ley de conservación del momento lineal. En un sistema aislado Fext = 0 y, por lo tanto, dp/dt = 0, de donde se deduce que:

Conservación del momento lineal
en todo sistema aislado.

En ausencia de fuerzas externas, el momento lineal de un sistema se conserva, es una constante del movimiento, independientemente de las fuerzas internas.

En los problemas de colisiones veremos la importancia de esta ley de conservación, que nos permite determinar datos de salida a partir de los de entrada, a pesar de que no se conozcan en absoluto las interacciones que se producen en la colisión.

La conservación del momento lineal de una partícula es consecuencia directa de la segunda ley de Newton, mientras que la conservación del momento de un sistema es consecuencia, además de la ley anterior, de la tercera ley de Newton. Dicha ley nos asegura que las fuerzas internas se anulan dos a dos en la ecuación de movimiento del CM o, equivalentemente, en la expresión de la derivada temporal de p, haciendo que el momento sea constante en ausencia de fuerzas externas.

En el sistema de referencia del CM, el momento total del sistema es igual a cero, pues se tiene p = mTvCM y vCM = 0. Este resultado ya lo habíamos obtenido directamente para el caso concreto de un sistema de dos partículas, ya que teníamos p'1 = —p'2 y, por tanto, p = 0.

Ejemplo:

Calcula la velocidad de retroceso de un cañón de 1 000 kg que dispara un proyectil de 5 kg a una velocidad de 400 m/s.
Conservación del momento lineal
Solución:

La conservación de la cantidad de movimiento nos permite obtener el dato que se nos pide, a pesar de que no se conozcan ni la fuerza de interacción ni la energía liberada. En el instante inicial, el cañón y el proyectil se encuentran en reposo, por lo que la velocidad del CM es, en consecuencia, igual a cero.

El sistema formado por el cañón y el proyectil lo podemos considerar aislado, pues la acción de la gravedad no influye en nuestro problema. La conservación del momento lineal nos asegura entonces que después del disparo la velocidad del CM ha de seguir siendo nula. Así:
El signo menos indica que el cañón se mueve en sentido opuesto al del proyectil.


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