Momento angular de un sistema


El concepto de momento angular se generaliza a un sistema de partículas igual que se hizo con el momento lineal en el anterior post.

Definimos el momento angular de un sistema de partículas con respecto a un punto O como la suma vectorial de los momentos angulares de cada una de las partículas, referidos todos al mismo punto O.
Momento angular de un sistema
Estudiemos cómo se relaciona esta magnitud con las fuerzas aplicadas al sistema, y si posee una ley de conservación.

Aunque los resultados que obtendremos son válidos para un sistema general cualquiera, los deduciremos, para mayor sencillez, para el caso concreto de un sistema de dos partículas. Por analogía con el resultado para una partícula, parece conveniente estudiar la derivada temporal de L:
siendo F1 y F2 las fuerzas que actúan sobre las partículas 1 y 2, respectivamente. De nuevo, dichas fuerzas son la suma de una fuerza externa y de otra interna, que verifica el principio de acción y reacción, es decir, tal que F12 = — F21. Así, se tiene.:

Fuerzas que actúan sobre las dos partículas

La fuerza interna entre las partículas 1 y 2 está dirigida entre ellas, es decir, es paralela al vector r1 — r2, por lo que el último miembro de la ecuación anterior es cero. Definimos M1ext y M2ext como los momentos de las fuerzas externas sobre las partículas 1 y 2, con respecto al mismo punto que antes O, o sea Miext=rixFiext, y se obtiene:
Como ya hemos dicho, este resultado es directamente generalizable para un sistema con un número cualquiera de partículas:
Derivada del Momento angular de un sistema
La derivada temporal del momento angular de un sistema con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos con respecto a ese mismo punto de las fuerzas externas actuantes sobre cada partícula.

La ecuación es muy importante en el estudio del movimiento de rotación. Es conveniente destacar que en dicha ecuación L y Mext han de calcularse con respecto al mismo punto O, que además ha de ser un punto fijo en algún sistema de referencia inercial.

Conservación del momento angular

Si se tiene un sistema aislado, las fuerzas externas son nulas y, por lo tanto, también lo son los momentos de dichas fuerzas; en consecuencia, la derivada de L con respecto a í es igual a cero. Integrando este resultado, se obtiene que L debe de ser constante. Se llega a la misma conclusión si el sistema no está aislado, pero las fuerzas externas actúan de tal manera que su momento total respecto a un punto es igual a cero. Se tiene, así, la importante ley de conservación del momento angular:
Conservación del momento angular
El momento angular con respecto a un punto de un sistema de partículas aislado, o en el que el momento total de las fuerzas externas respecto de dicho punto sea igual a cero, se conserva.

Supongamos que estamos en una barcaza sujeta por medio de una cuerda a tierra y que empezamos a caminar en dirección perpendicular a la cuerda, tal como se muestra en la ilustración. Como resultado de nuestra acción, la barcaza comienza a girar, respecto al punto de amarre, en sentido opuesto al nuestro y su velocidad de giro será tal que compense nuestro cambio de momento angular y se verifique la conservación del mismo.
Ejemplo de Conservación del momento angular
La situación es similar a la que se da en la conservación del momento lineal. Tanto el momento lineal como el angular han de conservarse. La única diferencia está en que, dependiendo de cómo se ejerce la fuerza interna o de las ligaduras que existan, se inducen o cambios de momento lineal o de momento angular (o de ambos) en las partes que componen el sistema.

Momento angular en el sistema del CM

Nos queda por obtener el valor del momento angular de un sistema con respecto a su CM. Consideremos de nuevo el caso de dos partículas, por simplicidad, y denominemos con primas las magnitudes referidas al sistema del CM. L se puede reescribir como:

Momento angular en el sistema del CM

El tercer sumando del último término es nulo porque p'1 = — p'2 y en el último podemos usar la definición de CM, llegando a:
Momento angular en el sistema del Centro de Masas

Éste es un resultado general, válido para sistemas con un número cualquiera de partículas:

El momento angular respecto a un punto cualquiera es igual al momento angular respecto al CM más el que poseería, respecto al punto original, una partícula que tuviera la masa total del sistema y estuviera situada en la posición del CM.

El resultado anterior no es análogo al del momento lineal, cuyo valor en el sistema del CM es cero. Es decir, con la notación actual siempre se tiene p' = 0.

El momento angular respecto al CM no es nulo en general, y se dice que es el momento angular interno del sistema, pues no depende del sistema de referencia elegido. Es una función del movimiento relativo, interno, de los diversos componentes del sistema.

Para el caso concreto de dos partículas podemos hallar fácilmente cuánto vale el momento angular interno L':
Momento angular interno de dos partículas

L' depende únicamente de la posición y de la velocidad relativa de las dos partículas. Coincide con el momento angular que poseería una partícula de masa μ y cuyo vector posición fuera igual a r12.


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