Fuerza constante


Consideremos una fuerza constante F (o sea, una que posea el mismo valor en todos los puntos del espacio), y dos puntos A y B cualesquiera, tales como los representados en la ilustración. Deseamos probar que el trabajo realizado por dicha fuerza a lo largo de cualquier trayectoria entre A y B no depende de ésta, sino únicamente de los puntos A y B.
Trayectoria formada por tramos perpendiculares y paralelos a una fuerza constante

Empecemos considerando las trayectorias formadas por tramos rectilíneos que sean o bien paralelos o bien perpendiculares a la dirección de la fuerza, pero que por lo demás sean arbitrarios. En la ilustración se representa una de dichas trayectorias. Podemos elegir el eje X paralelo a la fuerza y con el mismo sentido. Calculemos el trabajo realizado a lo largo de una de estas trayectorias.

En los tramos perpendiculares a la fuerza, el trabajo realizado es cero. En los tramos paralelos, la fuerza y la trayectoria poseen la misma dirección, por lo que su contribución al trabajo es:
siendo x¡ y xi+1 los valores de la coordenada x de los puntos inicial y final del tramo i-ésimo de la trayectoria. Como Fes constante, la podemos sacar fuera de la integral y, dado que la coordenada x del punto final de un tramo paralelo coincide con la del punto inicial del siguiente tramo paralelo, concluimos que el trabajo total entre A y B es igual a:

Los valores x1 x2, xn dependen de la trayectoria concreta de que se trate, pero el resultado final depende únicamente de x1 = xA y xn = xB que son comunes a todas las trayectorias consideradas.

Queda demostrado que el trabajo entre A y B para todas las trayectorias formadas por tramos rectilíneos paralelos y perpendiculares a la dirección de la fuerza es el mismo. Ahora bien, una trayectoria general cualquiera siempre puede ser considerada como el límite de una sucesión de trayectorias del tipo de las anteriores con tramos cada vez más pequeños. Ello nos dice que el trabajo para una trayectoria cualquiera también viene expresado por la última relación y es, por lo tanto, independiente de la trayectoria. Queda demostrado que toda fuerza constante es conservativa.


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