Fuerza central


Recordemos que una fuerza es central cuando es siempre radial respecto a un punto O, llamado centro de fuerzas, y además su módulo depende únicamente de la distancia al centro de fuerzas:
Vamos a demostrar que las fuerzas centrales son conservativas, independientemente de cuál sea la función F(r). Con esto quedará probado que tanto la fuerza gravitatoria, como la eléctrica, como la debida a un muelle (todas ellas fuerzas centrales) son conservativas.

Seguiremos un procedimiento similar al utilizado para una fuerza constante. Elijamos dos puntos A y B arbitrarios, tal como los de la ilustración, en la que también se muestra el centro de fuerzas. Demostraremos que la fuerza central es conservativa, probando que el trabajo entre A y B es independiente de la trayectoria que se siga entre esos dos puntos.
Trayectoria formada por tramos radiales y circulares, respecto al origen de una fuerza central

Empecemos considerando las trayectorias formadas por tramos radiales y circulares, pero que por lo demás sean arbitrarias. Es decir, la longitud, el orden y el sentido de los tramos radiales y circulares son cualesquiera. En los tramos circulares, la fuerza no rea¬liza trabajo por ser perpendicular a la trayectoria. En los tramos radiales, la fuerza y la trayectoria poseen la misma dirección, por lo que su contribución al trabajo total es:

siendo ri y ri+1 los radios inicial y final del tramo i-esimo de la trayectoria considerada. Como el radio final de un tramo radial coincide con el inicio del siguiente, concluimos que el trabajo total entre A y B es igual a:

Los valores r1 r2, rn dependen de la trayectoria de que se trate, pero el resultado final únicamente depende de r1 = rA y rn = rB  que, por supuesto, son comunes a todas las trayectorias consideradas.

Queda demostrado que el trabajo entre A y B para todas las trayectorias formadas por tramos circulares y radiales es el mismo. Una trayectoria cualquiera siempre puede considerarse como límite de una sucesión de trayectorias de tramos circulares y radiales cada vez más pequeños. Con esto también sabemos que el trabajo a lo largo de una trayectoria cualquiera viene expresado igualmente por la última relación, y es, por lo tanto, independiente de la trayectoria. Así pues, toda fuerza central es conservativa.



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