Energia potencial

Dado que el trabajo realizado por una fuerza conservativa sólo depende de los puntos inicial y final, se debe poder escribir, como diferencia de una magnitud propia de cada punto, Ep. A dicha magnitud se le llama energía potencial asociada a la fuerza considerada.
Energía potencial asociada a una fuerza
La energía potencial asociada a una fuerza conservativa se define como una magnitud que depende de las coordenadas de cada punto y cuya diferencia entre dos puntos es igual al trabajo que efectúa la fuerza entre ambos puntos.

Como lo único que está realmente definido es la diferencia de energía potencial, podemos sumar una constante arbitraria a la energía potencial de todos los puntos, sin que varíe el resultado. Se dice que la energía potencial está definida salvo una constante aditiva.

Consecuentemente, siempre tenemos la libertad de poder elegir el «origen» de la energía potencial. Éste es un punto de referencia en el que consideramos que la energía potencial vale cero.

La energía potencial es una magnitud escalar, pues su diferencia ha de darnos un escalar, el trabajo. Sus unidades son las mismas que las del trabajo y, por lo tanto, que las de la energía cinética.

Energía potencial asociada a una fuerza constante

Podemos calcular fácilmente la energía potencial asociada a una fuerza constante. Se ha demostrado anteriormente en el post anterior que toda fuerza constante es conservativa, y, en consecuencia, podemos elegir para el cálculo del trabajo la trayectoria que queramos. Elegiremos el tramo de recta que une los dos puntos entre los que se quiere calcular el trabajo. Éste viene dado por la ecuación :
La última relación es la definición de energía potencial. Se deduce que la energía potencial de un punto r es igual a:
Energía potencial asociada a una fuerza constante

Como hemos dicho, a este valor de la energía potencial le podemos añadir una constante cualquiera y el resultado no cambiará.
 Energía potencial asociada a una fuerza constante

Energía potencial gravitatoria en la superficie terrestre

Un caso especial del problema anterior, y quizás el más importante, es el de la fuerza gravitatoria en las cercanías de la superficie terrestre, y en una región no extremadamente grande, en donde podemos suponer dicha fuerza constante. Si elegimos el eje Y como la dirección vertical y con el sentido positivo hacia arriba, la fuerza gravitatoria es igual a:

Usando esta expresión en la ecuación de la energía potencial, obtenemos:
Energía potencial gravitatoria en la superficie terrestre
Ep depende únicamente de la coordenada vertical. Así, los planos horizontales son superficies equipotenciales (todos sus puntos poseen la misma energía potencial).

Como vimos en el caso general, tenemos libertad para elegir donde queramos el origen de la energía potencial. Sea cual sea dicho origen, la diferencia de energía potencial entre dos puntos es igual a:
siendo h12 la diferencia de alturas entre el primero y el segundo puntos (que es negativa si el primer punto está más bajo que el segundo).

Ejemplo: 
¿Qué energía potencial gana una persona de 70 kg cuando sube 20 escalones de 40 cm de anchura y 17 cm de altura, cada uno?

Solución:

La anchura de los escalones no importa, únicamente importa la altura. De acuerdo con la ecuación vista, el cambio de energía potencial es:


Energía potencial elástica

Los átomos que componen un sólido están dispuestos en su posición de mínima energía. Cuando la aplicación de fuerzas en sentidos contrarios deforma el sólido, sus átomos se ven forzados a ocupar unas posiciones de más energía, aumento que se denomina energía elástica. Podemos calcular el valor de dicha energía en función de la deformación del sólido, si sabemos la fuerza que éste contrapone a las fuerzas externas. Si la deformación no es demasiado grande, dicha fuerza es igual a:
Energía potencial elástica
siendo x la longitud de deformación y k una constante, que depende de la forma geométrica y del tipo de material del sólido en cuestión.
Energía potencial elástica

El signo menos indica que la fuerza es en sentido contrario a la deformación. Esta ley fue descubierta por R.Hooke para un muelle, por lo que lleva su nombre. Hemos supuesto, para describirla, un problema unidimensional por ser el caso más importante y el más simple.

Deseamos calcular la energía potencial elástica en función de x. Para ello hemos de obtener el trabajo que realiza la fuerza entre dos puntos. Al tratarse de un problema unidimensional, la integral de línea del trabajo se reduce a una integral unidimensional normal. Elegimos como uno de los límites de dicha integral el origen (situación de equilibrio) y el otro en un punto cualquiera x:

Lo más natural es tomar Ep(0) = 0 y, por lo tanto:
Energía potencial elástica
Esta expresión es importante porque es válida para la gran mayoría de los sistemas físicos alrededor del equilibrio.
Energia potencial de un muelle
Energia potencial de un muelle

En algunos casos, el sólido no se alarga o se estira, sino que se producen deformaciones más complicadas, como cuando se dobla una pértiga. Expresiones similares son válidas, pero reinterpretando x como el parámetro general que mide la deformación, que puede llegar a ser una magnitud complicada (la curvatura, en el caso de una pértiga).

Ejemplo:

Un muelle se estira 2 cm cuando se le cuelga suavemente (para que no oscile) una pesa de 0,5 kg. ¿Qué energía potencial gana?

Solución:

Primero hemos de hallar la constante de fuerza del muelle, de acuerdo con la ecuación:

(el signo menos no hay que considerarlo, pues está implícito en el sentido de la fuerza y el desplazamiento.) 
La energía potencial elástica viene dada por:

Este problema no se puede solucionar calculando la energía potencial perdida por la pesa, ya que parte de la misma se transmite a la mano que sujeta la pesa para que cuelgue suavemente y no oscile.




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