Energía de un sistema


El trabajo total que se realiza sobre la primera partícula entre dos puntos A y B es igual a:

en donde hemos tenido en cuenta el teorema de las fuerzas vivas para una partícula y que la fuerza que actúa sobre ella se puede descomponer en una externa y otra interna. Ec,1 (A) denota la energía cinética de la partícula 1 en el punto A. Una expresión similar es válida para la partícula 2.

Definimos el trabajo externo como el que realizan las fuerzas externas. Si sumamos el trabajo realizado sobre las dos partículas y tenemos en cuenta la ley de acción y reacción, llegamos a:

En esta expresión A y B denotan las posiciones de las dos partículas en los instantes inicial y final considerados. La diferencia de elementos diferenciales que aparece en la integral de la ecuación anterior es igual a dl1 - dl2 = dl12. Definimos el trabajo realizado por la fuerza interna de la siguiente manera:

Resulta natural definir el trabajo total WT realizado sobre un sistema de partículas, entre dos instantes de tiempo, como la suma de los trabajos realizados sobre las partículas por las fuerzas externas, más la suma de los trabajos internos entre cada dos partículas.

La suma de los trabajos internos es para j > i, porque cada par de partículas ha de ser contado una sola vez. Igualmente podíamos haber sumado para todo i y para todo j, de forma que cada par lo habríamos contado dos veces, y haber dividido el resultado por dos.

La energía cinética total del pelotón ciclista es la suma de las energías cinéticas de cada uno de los ciclistas

También resulta natural definir la energía cinética total de un sistema como la suma (escalar) de las energías cinéticas de cada una de las partículas que componen el sistema:
energía cinética total de un sistema

Si tenemos encuenta estas dos últimas definiciones, la ecuación corresponde al teorema de las fuerzas vivas para un sistema de dos partículas. De hecho, el resultado es válido para un sistema con un número cualquiera de partículas. En general, tenemos:
teorema de las fuerzas vivas para un sistema de dos partículas

Conservación de la energía

Como ocurre para el caso de una partícula, cuando las fuerzas son conservativas, podemos definir una energía potencial de manera que el trabajo que se realiza es igual a la diferencia de energía potencial entre los puntos inicial y final. Si tanto las fuerzas internas como las externas son conservativas, la suma de trabajos que aparecen en la ecuación es igual a:

Epiext es la energía potencial externa de la partícula i y Epijint es la energía potencial interna entre las partículas i y j.

De la ecuación se desprende que es natural definir la energía potencial total Ep del sistema como:

Las fuerzas internas constribuyen a la energía total del sistema.

Teniendo en cuenta la definición de energía potencial, podemos reescribir el teorema de las fuerzas vivas, para el caso de fuerzas conservativas como:
Conservación de la energía

Definimos la energía total del sistema como la suma de las energías cinética y potencial, tanto interna como externa, de dicho sistema. Entonces, la ecuación anterior nos dice que la energía se conserva:

La energía total de un sistema, igual a la energía cinética más la potencial, es una constante del movimiento, siempre que las fuerzas, tanto internas como externas, sean conservativas.

Si tenemos, por ejemplo, dos objetos unidos por un muelle, acercándose y separándose periódicamente, se produce un continuo intercambio de energía cinética a energía potencial interna entre los dos objetos, esta última asociada al muelle. El intercambio es tal que siempre se verifica la ecuación.
Conservación de la energía

Energía mecánica interna

La energía cinética en un sistema de referencia cualquiera es fácilmente relacionable con su energía cinética en el sistema del CM. Expresemos de nuevo con primas las variables medidas en el sistema del CM.

La energía cinética total en un sistema de referencia general es:
energía cinética total en un sistema de referencia

Como el momento lineal total en el sistema de referencia del CM es cero, llegamos a:
energía cinética total en un sistema de referencia

Al igual que ocurre con el momento angular, la energía cinética en el sistema de referencia del CM no es, en general, nula. A dicho valor se le conoce como energía cinética interna del sistema. Tiene en cuenta únicamente la energía cinética correspondiente al movimiento relativo de las partículas y no la correspondiente al movimiento global de traslación del sistema.

La ecuación nos dice que la energía cinética de un sistema de partículas es igual a su energía cinética interna más la que tendría una partícula con masa igual a la del sistema y con velocidad igual a la del CM.

Definimos la energía mecánica interna de un sistema como su energía total en el sistema de referencia del CM. Depende únicamente de las posiciones y velocidades relativas de las partículas.

La energía mecánica interna del sistema solar depende únicamente de las posiciones y velocidades  relativas de los cuerpos que lo componen.

La contribución a la energía mecánica interna de la energía cinética es precisamente la energía cinética interna, estudiada arriba. Por su parte, la contribución de la energía potencial es la debida a las fuerzas internas. Ésta sólo depende de las posiciones relativas de las partículas y vale lo mismo en cualquier sistema de referencia, y en particular en el del CM.




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