Curvas de energía potencial


Las curvas que representan Ep(x) en función de la posición en los problemas unidimensionales nos dan una información muy valiosa. Nos dicen, en primer lugar, qué fuerza sufre la partícula en cada posición. La definición de energía potencial en una dimensión se reduce a:
Curvas de energía potencial
en donde x0 es un punto fijo cualquiera. Derivando la expresión anterior, se llega a:
Curvas de energía potencial
Cuando Ep(x) disminuye, la fuerza es positiva, y viceversa, tal como se representa en la ilustración. La fuerza trata de llevar la partícula a los lugares de mínima energía potencial.

Curvas de energía potencial

En los puntos máximos y mínimos de la energía potencial se verifica dEp(x)/dx = 0, por lo que la fuerza es cero. Son puntos de equilibrio. En los máximos de Ep(x), si la partícula se separa un poco, la fuerza tiende a alejarla todavía más, por lo cual se dice que son puntos de equilibrio inestable. Por el contrario, en los mínimos, la fuerza tiende a hacer volver a la partícula si ésta se aleja; por eso se denominan puntos de equilibrio estable. En una región en donde Ep(x) es constante, decimos que el equilibrio es neutro, pues ante una pequeña perturbación la partícula ni tiende a alejarse, ni trata de volver al punto inicial. En resumen:

Equilibrio estable: mínimo de energía potencial.
Equilibrio inestable: máximo de energía potencial.
Equilibrio neutro: región con energía potencial constante.

Suficientemente cerca de un punto de equilibrio estable Ep (x) puede aproximarse en general a una parábola, dependencia que ya apareció en el estudio de la energía elástica del otro post. Este tipo de comportamiento, que da lugar a movimientos oscilatorios simples, es muy importante y frecuente en la naturaleza, ya que ésta tiende a las situaciones más estables, es decir, de mínima energía potencial.

Las curvas de Ep(x) nos permiten conocer la región en la que se mueve una partícula. Si ésta se encuentra aislada (a parte de experimentar la fuerza correspondiente a Ep(x)), su energía total será constante a lo largo de su movimiento. Tracemos una línea horizontal correspondiente a la energía total ET. El movimiento tendrá lugar en aquella región en la que Ep(x) < ET, ya que la energía cinética no puede ser negativa. Los puntos extremos, en los que Ep(x) = ET, se denominan puntos de retorno, pues en ellos la partícula invierte el sentido de su movimiento.

En presencia de rozamiento, la energía total de la partícula disminuye gradualmente con el tiempo, de manera que la zona de movimiento es cada vez menor, hasta que finalmente la partícula se detiene en un mínimo de Ep(x).

Ejemplo: 

La energía potencial de una partícula está dada por Ep(x) = E0[2(a/x)6 — (a/x)12], en donde E0 y a son constantes positivas y x es la distancia (positiva) a un origen. Halla la fuerza correspondiente y la distancia x del punto de equilibrio estable. (Esta energía se conoce como de Lennard-Jones y representa adecuadamente la energía potencial de los átomos en una molécula diatómica.)

Solución:

Para calcular la fuerza basta con derivar la energía potencial con respecto a la posición:
En el punto de equilibrio estable la fuerza ha de ser cero. Se ha de verificar:
La única solución de esta ecuación es x = a. Podemos comprobar que esta solución corresponde a un punto de equilibrio estable, derivando F(x) con respecto a x y viendo que su valor en a es negativo, o sea, que corresponde a un mínimo de Ep(x).


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