Centro de masas


Cuando tenemos un sistema de partículas nos interesa poder calcular sus propiedades globales, siendo la más obvia de éstas la posición central o media del sistema. Si todas las partículas tuvieran la misma masa, esta posición central sería el centro geométrico de las posiciones de las partículas. Sin embargo, generalmente no todas las partículas poseen la misma masa y es necesario sopesar cada una de las posiciones de acuerdo con la masa correspondiente.

Teniendo en cuenta lo anterior, se define el importante concepto físico de centro de masas (CM) de un sistema como el punto cuyo vector de posición rCM es igual a:
centro de masas

siendo N el número de partículas. El denominador de esta ecuación corresponde a la masa total del sistema 
El centro de masas es la posición media de las partículas, ponderadas según sus masas.
centro de masas

La definición anterior también se puede formular en función de las coordenadas. Si xi, yi y zi son las coordenadas de la partícula i, las coordenadas del centro de masas vienen dadas por:
Coordenadas del centro de masas

A veces no podemos distinguir la naturaleza discreta de las partículas del sistema, que hemos de estudiar como un continuo. En este caso, en vez de partículas hay que considerar elementos infinitesimales de volumen dV. La masa de cada uno de ellos es igual a ρdV, siendo ρ la densidad de la sustancia (que se define como la masa por unidad de volumen). La densidad es, en general, función de la posición ρ(r). En el caso concreto de sistemas homogéneos, la densidad es constante ρ(r) = ρ. 

El objeto se divide en elementos infinitesimales de volumen y las sumas anteriores se transforman entonces en integrales.
Coordenadas infinitesimales del centro de masas
Estas integrales se extienden sobre el volumen ocupado por el sistema. La masa total es, a su vez, igual a la siguiente integral:
Masa total del centro de masas
En determinadas ocasiones, se tienen objetos, tales como varillas, casi unidimensionales. Entonces las integrales de volumen anteriores se convierten en integrales simples a lo largo de la dirección del objeto, y las densidades correspondientes han de ser lineales (masa por unidad de longitud), ρl. Análogamente se pueden tener objetos casi bidimensionales, tales como planchas, en cuyo caso las integrales serán bidimensionales y las densidades serán superficiales (masa por unidad de superficie), ρs.

Cálculo del centro de masas

En los sistemas formados por un número relativamente pequeño de partículas, la mejor forma de calcular el centro de masas es por aplicación directa de su definición.

En los casos en que el sistema presenta una cierta simetría, el CM también habrá de verificarla, por lo que deberá estar situado en todos los elementos de simetría existentes. Esto es válido tanto para sistemas discretos como continuos. Así, si tenemos cuatro masas iguales colocadas en los vértices de un cuadrado, el CM estará situado en el centro del cuadrado. El de una esfera, tanto si es hueca como si es maciza, estará en su centro. Si se tiene una varilla, el CM estará sobre su eje; si además su densidad es constante, estará justo en el centro. En la ilustración se muestran las posiciones de los CM de algunos objetos geométricos.
Centro de masas de diferentes objetos, esfera, cilindro y cuadrado

A veces es conveniente dividir el sistema en dos o más partes, sobre todo cuando éstas presentan alguna simetría no compartida por el conjunto completo. También puede resultar de interés esta división cuando las integrales correspondientes a cada una de las partes son más sencillas que las del total, debido, por lo general, a una mayor simplicidad de los límites de integración. Si se sabe calcular el CM de todas las partes, podemos obtener el CM total procediendo como si toda la masa de cada una de las partes estuviera concentrada en su CM correspondiente, como se deduce de la propia definición de CM.
Centro de masas de una varilla

Si tenemos un objeto con un hueco, podemos calcular el CM del objeto sin hueco y el de un cuerpo que tuviera la forma del hueco. El CM total lo podemos obtener, a partir de los dos anteriores, utilizando la expresión, pero considerando negativa la masa del hueco (suponiendo que, aparte del signo, tiene la densidad del objeto original).


Ejemplo 1

Calcula el centro de masas del sistema formado por tres partículas de masas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg y m3 = 3 kg, situadas en las posiciones
, en donde las coordenadas están medidas en metros.

Solución:
Para determinar el centro de masas utilizamos directamente la expresión, que para este sistema concreto es igual a:


Introduciendo los valores de m1, m2, m3, r1, r2 y r3 en esta expresión, obtenemos:

Ejemplo 2

Determina el CM de una varilla delgada y homogénea de longitud l y masa m. 

Solución:
Por simetría sabemos que el CM se ha de encontrar justo en el punto medio del eje. Para comprobar este resultado y, al mismo tiempo, familiarizarnos con el método de integración, vamos a calcularlo directamente. Supongamos que la varilla está a lo largo del eje X y que uno de sus extremos coincide con el origen. Dividimos la varilla en elementos infinitesimales, tal como se muestra en la ilustración.
Centro de masas de una varilla

Un elemento situado a una distancia x del origen y de espesor dx poseerá una masa dm igual a:

independiente de x, por tratarse de una varilla homogénea. La masa total de la varilla puede escribirse como:

de donde se puede deducir el valor de la densidad lineal ρl. Las coordenadas del CM vienen dadas por la ecuación:

Ejemplo 3

Encuentra el CM de un sistema formado por dos hilos delgados, homogéneos y con la misma densidad lineal, de 4 y 6 m de longitud y situados sobre los ejes X e Y, respectivamente, y con uno de sus extremos tocando al origen, como se muestra en la ilustración.

Solución:
A pesar de que no conozcamos la densidad lineal de los hilos, sabemos por simetría que el CM de cada uno de ellos estará en el punto medio de su eje. Es decir, el de un hilo estará situado en el punto 2 i y el del otro en el punto 3 j.
Centro de masas de un sistema formado por dos varillas

El CM total lo calcularemos como si toda la masa de cada uno de los hilos estuviera concentrada en uno de los puntos anteriores. Aunque no conocemos la masa de cada hilo, podemos obtener el CM porque sabemos que ellas han de ser proporcionales a las longitudes correspondientes:
Es conveniente observar que el centro de masas no tiene por qué coincidir con un punto del sistema.


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