Velocidad

Cuando analizamos el movimiento de un punto, una de las características que nos interesa es la rapidez con la que ha ido cambiando la posición en el transcurso del tiempo. Se trata de una característica importante del movimiento, lo que queda claro considerando un ejemplo sencillo. Pensemos en dos personas que van desde una población A hasta otra B, siguiendo la carretera que las une.


Una de ellas va a pie, mientras que la otra va en automóvil. Es obvio que, aunque las dos personas han pasado exactamente por los mismos puntos en su trayecto (su trayectoria es la misma), su movimiento ha sido muy distinto, debido precisamente a la diferente rapidez con que se ha producido.

Para estudiar la rapidez con que se produce el movimiento, se introduce el concepto de velocidad. Si volvemos al ejemplo anterior, vemos que lo que distingue a los dos movimientos es el tiempo invertido por cada persona en ir desde A hasta B. El concepto de velocidad debe involucrar, por tanto, dos factores: el desplazamiento realizado por el móvil y el tiempo empleado para ello. Para dar precisión a esta idea, consideremos un punto que se mueve siguiendo la trayectoria que se indica en la ilustración de modo que en el instante t1 su vector de posición es r1 y en t2 es r2.


Definimos la velocidad media entre esos dos instantes como:


Así pues, la velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento, y cuyo módulo nos da una idea de la rapidez con que se ha producido el cambio de posición.

No obstante, el concepto de velocidad media presenta dos limitaciones:
No nos proporciona una información completa de la rapidez con que el punto se ha movido, ya que esta rapidez puede no ser constante en el intervalo de tiempo considerado.
No está directamente relacionada con la longitud de la trayectoria recorrida, s, que, en general, difiere de Δr.

La forma natural de evitar estos dos inconvenientes consiste en considerar intervalos de tiempo Δt cada vez más pequeños. Así:

Se define la velocidad instantánea como el límite de la velocidad cuando Δt tiende a cero:


El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.

Por su propia definición, la velocidad instantánea nos da una medida de la rapidez con que se produce el movimiento en cada momento.

Si expresamos el vector de posición en términos de sus componentes, ecuación, y elegimos unos vectores unitarios i, j, k que no dependen del tiempo, tenemos que la derivada temporal del vector de posición es:


Es decir, cada una de las componentes del vector velocidad se obtiene como la derivada con respecto al tiempo de la correspondiente componente del vector de posición.

Las componentes del vector velocidad se miden en unidades de metro/segundo (m/s).

En función de sus componentes, el módulo del vector velocidad es igual a:



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