Obtención de la velocidad y la posición a partir de la aceleración



Podemos decir que el conocimiento del vector de posición r en función del tiempo permite, mediante la operación de derivación, obtener tanto la velocidad v como la aceleración a.

Podemos ahora plantearnos el problema inverso, es decir, suponiendo que conocemos a en función del tiempo, calcular v y r. La herramienta matemática que nos permite resolver dicha cuestión es la integración. Como sabemos, la integración es, en cierto modo, una operación inversa de la derivación. El significado de esta afirmación es el siguiente. Supongamos que tenemos una función real f(x), y que conocemos otra función g(x) tal que g'(x) = f(x), entonces se verifica:

Por definición, la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Así, la relación anterior nos permite escribir:

o bien:


Si conocemos la aceleración en función del tiempo, podemos obtener la velocidad en cualquier instante t1 a condición de que conozcamos la velocidad en un instante inicial t0.

Una vez calculada la velocidad, podemos repetir el proceso para obtener la posición. En efecto, puesto que la velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo, se tiene que:


o bien:


Por lo tanto, si conocemos la velocidad, podemos hallar la posición en cualquier instante, con la condición de que la conozcamos en un instante inicial t0.

En conclusión, si conocemos la aceleración en función del tiempo, podemos obtener, a partir de ella, tanto la velocidad como la posición mediante la aplicación reiterada de la integración. Para ello deberemos conocer además lo que llamamos las condiciones iniciales del movimiento, que son la velocidad y la posición en un instante inicial arbitrario t0.

En buena lógica podemos plantearnos por qué nos hemos detenido en la segunda derivada de r y no hemos seguido con derivadas de orden superior. La razón de ello hay que buscarla en la forma que toman las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un cuerpo. Como veremos más adelante, al estudiar la dinámica, la segunda ley de Newton nos relaciona las fuerzas que actúan sobre un cuerpo con la aceleración que éste adquiere. A partir de ella podemos obtener, como hemos visto, la velocidad y la posición.


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