Momento lineal


Las leyes de Newton constituyen el marco de la mecánica clásica, y todos sus resultados pueden deducirse de ellas. No obstante, en la mayoría de los casos es imposible atacar el problema directamente, incluso con la ayuda de los más modernos ordenadores. Por ello es por lo que resulta fundamental encontrar magnitudes que se conserven, de acuerdo con las leyes de Newton. En la mecánica clásica existen tres magnitudes que se conservan: el momento lineal, el momento angular y la energía.

Se define el momento lineal (o cantidad de movimiento) como:
Momento lineal o cantidad de movimiento

El momento lineal de una partícula es el producto de su masa por su velocidad.

De su definición se deduce que el momento lineal es un vector que señala siempre en la dirección y el sentido de la velocidad. Las componentes del momento lineal están dadas por:


También se concluye que el momento lineal se mide en el Sistema Internacional en kilogramo • metro / segundo (kg • m/s).

A continuación demostraremos, a partir de las leyes de Newton, que el momento lineal se conserva, lo que le confiere una importancia fundamental. Consecuencia de ello es su relevancia en las colisiones, como nos muestra la experiencia diaria. Sabemos que la efectividad de un cuerpo al chocar —para desplazar a otro, por ejemplo— depende tanto de la velocidad como de la masa. En definitiva, depende del momento lineal.

Si tenemos una partícula aislada, sobre la que no se ejerce una fuerza neta, su velocidad será constante, de acuerdo con la primera ley de Newton. Dado que su masa no varía, se encuentra directamente que su momento lineal habrá de ser también constante. Así se obtiene el principio de conservación del momento lineal.

El momento lineal de toda partícula aislada, no sujeta a una fuerza externa neta, es constante.

Este resultado se puede generalizar a un sistema de partículas, como consecuencia de la segunda y la tercera leyes de Newton.

La primera ley de Newton es precisamente el principio de conservación del momento lineal de una partícula. También podemos reformular la segunda ley de Newton en términos del momento lineal.

Para ello hemos de reescribir la ecuación de la segunda Ley de Newton en función de p utilizando la definición de aceleración:

en donde hemos supuesto que la masa es constante.

Finalmente, se tiene:

La fuerza es igual a la variación temporal del momento lineal.

El efecto de la fuerza es producir un cambio en el momento lineal de la partícula.

Existen situaciones en las que la masa del objeto que se considera puede variar; por ejemplo, cuando estudiamos el movimiento de un cohete que va perdiendo masa debido a que quema su combustible. 

Ejemplo 1
Una vagoneta sin techo circula por una vía horizontal a una velocidad de 36 km/h. Posee una superficie horizontal de 6 m2, una altura de 1,5 m y una masa de 2000 kg. En un instante dado empieza a llover a un ritmo de 10 mm por minuto. Halla la velocidad de la vagoneta en función del tiempo, a partir de cuando empieza a llover.

Solución:
Como se supone que no actúa ninguna fuerza sobre la vagoneta, su momento lineal deberá de ser constante. Su masa varía a causa de la lluvia y, en consecuencia, habrá de variar su velocidad. La masa de agua ma acumulada en la vagoneta en función del tiempo t será:
en donde p = 1000 kg/m3 es la densidad del agua, S la superficie horizontal y h la altura del agua, t se ha de medir en segundos, h no puede ser mayor de 1,5 m, por lo que la expresión anterior es válida para 
t< 1,5•60/0,01 = 9000 s, momento a partir del cual la masa permanece constante. La conservación del momento lineal implica:
en donde m0 es la masa de la vagoneta y vQ su velocidad inicial. Despejando, se tiene:
Para t > 9000 s la velocidad es de 1,82 m/s

Ejemplo 2
Determina el momento lineal en un tiro parabólico y deduce a partir de él el valor de la fuerza. Solución:

Solución:
Las componentes del momento lineal son, por lo tanto, iguales a:
Para determinar las componentes de F derivamos estas expresiones con respecto al tiempo:
Como era de esperar, la fuerza es igual al peso del objeto.

Ejemplo 3
Calcula el momento lineal y la fuerza en un movimiento circular uniforme de radio a y velocidad angular co en el plano XY. La masa de la partícula es m.

Solución:
Supongamos que el origen de coordenadas coincide con el centro de giro. Las componentes del vector de posición son:
Derivando estas expresiones y multiplicando por la masa, obtenemos las componentes del momento lineal:
Derivando de nuevo con respecto al tiempo, encontramos las componentes de la fuerza:




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