Componentes intrínsecas de la aceleración


Interesa estudiar cómo contribuyen a la aceleración los dos tipos posibles de variación de la velocidad, en módulo y en dirección. Para ello, escribamos el vector velocidad como producto de su módulo por su dirección:
y derivemos dicho producto con respecto al tiempo:


Hemos tenido en cuenta que, en general, tanto y como ut pueden ser función del tiempo.


El primer término de la expresión anterior depende únicamente de la variación con el tiempo del módulo de la velocidad. Dicha contribución a la aceleración es siempre tangente a la trayectoria, pues ut lo es.

El segundo término de la ecuación se debe al cambio de dirección de la velocidad. A continuación calcularemos su valor y demostraremos que es perpendicular a la trayectoria.

Consideremos una partícula en dos instantes de tiempo muy próximos, y sean v1 y v2 los vectores unitarios en la dirección tangente a la trayectoria en ambos instantes. Salvo en el caso de una trayectoria rectilínea, ambos vectores definen un plano, que contiene la trayectoria en el entorno (que puede ser infinitesimal) del punto considerado, y que se denomina plano tangente.

Tracemos dos líneas rectas, n1 y n2, perpendiculares a dichos vectores y pertenecientes al plano anterior. Ambas líneas se cortan en un punto, llamado centro de curvatura, que está a una distancia R de la trayectoria. Se dice que R es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado. Para una circunferencia, el radio de curvatura coincide, en todo punto, con el radio de la circunferencia. En el caso especial de una trayectoria rectilínea, el radio de curvatura es infinito.


Deseamos estudiar el cambio en v, Δv, en el intervalo temporal transcurrido. Para ello trasladamos el origen del vector v2 hasta el punto 1, tal como se muestra en la ilustración. El vector Δv, que va del final de v1 al final de v2, es perpendicular a la bisectriz entre v1 y v2, debido a que poseen el mismo módulo. Cuando el intervalo temporal tiende a cero, la dirección de Δv tiende, por lo tanto, a la dirección perpendicular a la trayectoria e incluida en el plano tangente. Llamaremos un al vector unitario en dicha dirección, que denominaremos normal a la trayectoria.

Cuando Δt tiende a cero, sustituimos Δv por dv y obtenemos:


en donde dθ es el ángulo formado por v1 y v2, y hemos tenido en cuenta que el arco es igual al radio por el ángulo. Podemos reescribir dθ en función del radio de curvatura y de la trayectoria recorrida, ya que n1 y n2 también forman un ángulo dθ, por ser perpendiculares a v1 y v2:


De las ecuaciones se obtiene

Teniendo en cuenta, que la dirección de dv es la normal a la trayectoria, se llega a:

Así pues, la aceleración puede escribirse, en el caso más general, como:
siendo:

A at se le denomina aceleración tangencial y a an, aceleración normal o centrípeta. Se dice que at y an son las componentes intrínsecas de la aceleración. Dado que at y an son perpendiculares entre sí, se tiene que



La aceleración tangencial nos da el cambio en el módulo de la velocidad y posee siempre la misma dirección que la velocidad. Cuando vamos en un automóvil, sus frenazos y acelerones los sentimos en la dirección del movimiento. Si el módulo de la velocidad es constante, at = 0 y el movimiento se llama uniforme.

La aceleración normal nos da los cambios en la dirección de la velocidad. Depende de la velocidad con que se toma una curva y de su radio de curvatura. El sentido de la aceleración normal es siempre hacia el centro de curvatura. Si la trayectoria es rectilínea, el radio de curvatura es infinito y la aceleración normal es nula, independientemente de cuál sea la velocidad.



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