Problema de transmision del calor por conduccion 7

Las superficies interior y exterior de un cilindro hueco (ri = 5 cm ; re = 10 cm) se mantienen a 200°C y 100°C respectivamente. Si la conductividad térmica del material varía con la temperatura en la forma k(T) = k0 (1 + β T2), siendo k0 = 50 W/m.°C y β = 0,2 . 10-4 °C-1 constantes, determinar el flujo de calor por unidad de longitud del cilindro.

La ecuación general de la conducción en coordenadas cilindricas se reduce, para el caso unidimensional, dirección radial, estacionario, sin generación de calor y con conductividad térmica variable, a la expresión:

Ecuacion 1

cumpliéndose en este caso las condiciones de contomo siguientes:





Integrando (1) respecto a r se obtiene,
Ecuacion 2

y como el flujo de calor por unidad de longitud del cilindro, L, es,
Ecuacion 3
resulta, identificando términos que:
Ecuacion 4
La constante C se determina integrando por segunda vez la ecuación diferencial de partida (2),

y sustituyendo en la ecuación (4) del flujo de calor por unidad de longitud
 
Teniendo en cuenta la función k(T) e integrando, resulta:



o bien, considerando una conductividad térmica media en el intervalo T1 ≤ T≤ T2 definida por:
  


dando valores, obtenemos.
 
 


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